抛物线的焦点弦及通径问题

1．焦点弦

(1)定义

过抛物线 焦点 的直线被抛物线所截得的 线段 叫做抛物线的焦点弦．

(2)焦点弦长

设抛物线y²＝2px(p>0)的焦点为F，焦点弦的两端点分别是点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．如图1所示，l为准线，由抛物线的定义可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝ x₁＋x₂＋p .常称此式为抛物线的焦点弦长公式．

图1.焦点弦长

(3)几何性质

如图2所示，已知AB是抛物线y²＝2px(p>0)的焦点弦，点F是抛物线的焦点，设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，直线AB的倾斜角为θ，过A，B分别作准线l的垂线AC，BD，垂足分别为C，D，M(x₀，y₀)为线段AB的中点，MM′⊥CD于点M′，N为准线l与x轴的交点。

图2

可以证明以下结论：

①A，O，D三点 共线 ，且 B，O，C 三点共线；

动图如下：

②AM′⊥ BM′ ，CF⊥ DF ，M′F ⊥AB；

动图如下：

③以 AB 为直径的圆与准线相切(切点为M′)，

以CD为直径的圆与 AB 相切(切点为F)；

动图如下：

以AF或BF为直径的圆与 y 轴相切；

动图如下：

④∠ANF＝∠BNF ；

动图如下：

2．通径

(1)定义

过抛物线的 焦点 作垂直于 对称轴 且交抛物线于A，B两点的线段AB，我们称线段AB为抛物线的通径，如图3所示．对于抛物线y²＝2px(p>0)，由A，B，可得|AB|＝ 2p ，故抛物线的通径长为 2p .

图3

(2)通径在反映抛物线开口大小上的作用

线段AB叫做抛物线的通径，长度为 2p ，这是常数p的又一几何意义，所以p越大，通径越 大 ，即抛物线的开口越 大 ；反之，p越小，通径越 小 ，即抛物线的开口越 小 ．

(3)抛物线的定位条件和定性条件

抛物线的 焦点 是抛物线的定位条件，抛物线的 通径 能反映抛物线的开口大小，那么抛物线的通径就是抛物线的定性条件．

【敲黑板】

示范例题

已知直线l经过抛物线y²＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．

(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；

(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．

答案：见解析

解析：

破题

设出点的坐标，运用焦点弦长公式进行求解．

总结

设过抛物线焦点的弦的端点为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则四种标准方程形式下的弦长公式为：